Thí sinh chọn một phương án duy nhất. Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.
Câu 1. Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;-5;0)\) và mặt phẳng \((\alpha): 3x-5y+4z+2020=0\). Mặt phẳng \((\beta)\) đi qua điểm \(M\) và song song với mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình là: \(ax-5y+cz+d=0\). Tính \(a+2c+d\).
Đáp án của bạn:
Câu 2. Trong không gian \(Oxyz\), cho ba mặt phẳng \((P), (Q), (R)\) có phương trình \((P): x-4y+3z+2=0\); \((Q): 4x+y+88=0\); \((R): x+y+z+9=0\). Có bao nhiêu cặp mặt phẳng vuông góc với nhau?
Đáp án của bạn:
Câu 1. Tính tích phân \(\int_{1}^{2} (x^2 + \frac{3}{x}) dx\)
Hướng dẫn lời giải chi tiết:
\(\int\limits_{1}^{2}{({{x}^{2}}+\frac{3}{x}})dx=\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+3\ln \left( x \right) \right) \right|_{1}^{2}\)
\(= \left( \frac{8}{3}+3\ln 2 \right)-\left( \frac{1}{3}+3\ln 1 \right)=\frac{7}{3}+3\ln 2\)
Câu 2. Tốc độ tăng dân số của một thành phố trong một số năm được ước lượng bởi công thức \(P'(t) = 20 \cdot (1,106)^t\) với \(0 \leq t \leq 7\), trong đó \(t\) là thời gian tính theo năm và \(t = 0\) ứng với đầu năm 2020, \(P(t)\) là dân số của thành phố tính theo nghìn người. Cho biết dân số của thành phố đầu năm 2020 là 1008 nghìn người.
a) Tính dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2025 (làm tròn đến nghìn người).
b) Tính tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đầu năm 2020 đến đầu năm 2025.
Hướng dẫn lời giải chi tiết:
a) \(P(t)=\int{20.{{\left( 1,106 \right)}^{t}}dt=~}20.\frac{{{\left( 1,106 \right)}^{t}}}{\ln 1,106}+C\)
\(P(0)=1008 \Rightarrow C=1008-\frac{20}{\ln (1,106)} \approx 809\)
\(P(5)=20.\frac{{{(1,106)}^{5}}}{\ln (1,106)}+809=1138\)
Vậy dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2025 là 1138 nghìn người.
b) Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm giai đoạn đầu năm 2020 đến đầu năm 2025 là:
\(\frac{1}{5}\int\limits_{0}^{5}{20.{{\left( 1,106 \right)}^{t}}=4.}\left. \frac{{{\left( 1,106 \right)}^{t}}}{\ln 1.106} \right|_{0}^{5}=\frac{4{{\left( 1,106 \right)}^{5}}-4}{\ln 1.106} \approx 26\)
Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố là 26 nghìn người.
Câu 3. Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị kilomet) vào một trận địa pháo phòng không, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng mặt đất. Một vùng mặt phẳng trong tầm hoạt động của pháo giữ bởi 3 điểm pháo \(A(3;0;0); \,\, B(0;\frac{3}{2};0); \,\, C(0;0;-\frac{3}{2})\). Một mục tiêu bay từ \(M(5;2;4)\) tới \(N(1;0;-2)\). Khoảng cách từ điểm pháo A tới vị trí va chạm của mục tiêu khi tới mặt phẳng là bao nhiêu?
Hướng dẫn lời giải chi tiết:
Gọi mặt phẳng \((P)\) đi qua 3 điểm pháo \(A(3;0;0); \,\, B(0;\frac{3}{2};0); \,\, C(0;0;-\frac{3}{2})\) nên có phương trình là \(\frac{x}{3}+\frac{y}{1,5}+\frac{z}{-1,5}=1 \Leftrightarrow x+2y-2z-3=0\).
Giả sử điểm \(G(x_G; y_G; z_G)\) là vị trí khi mục tiêu bay tới mặt phẳng \((P)\) để tới vị trí N nên \(G \in (P)\).
Do \(\vec{MG}, \vec{MN}\) là 2 vecto cùng hướng nên tồn tại số thực \(t > 0\) sao cho \(\vec{MG}=t\vec{MN}\).
\(\vec{MG}=(x_G-5; y_G-2; z_G-4); \,\, \vec{MN}=(-4;-2;-6)\).
Nên \(\begin{cases} x_G = 5-4t \\ y_G = 2-2t \\ z_G = 4-6t \end{cases}\).
Vì \(G \in (P) \Leftrightarrow 5-4t+2(2-2t)-2(4-6t)=3 \Leftrightarrow t = 1/2 \Rightarrow G(3; 1; 1)\).
\(\vec{AG}=(0; 1; 1) \Rightarrow AG = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2} \approx 1,41\).
Vậy khoảng cách từ vị trí A đến điểm va chạm là 1,41 km.